Для корректного отображения этой странички, необходимо, чтобы Ваш браузер поддерживал Cascading Style Sheets!

НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИКА


Нелинейное взаимодействие электромагнитных волн

Тензор нелинейной восприимчивости

Рассмотрим нелинейное взаимодействие двух электромагнитных полей. Одно из них, поляризованное вдоль j, описывается выражением:
Ejw1(t) = Re(Ejw1 exp iw1t) = 1/2(Ejw1 exp iw1t + к.с.), (1)
а второе, поляризованное в направлении k, - выражением
Ekw2(t) = Re(Ekw2 exp iw2t)
Если среда нелинейная, наличие этих двух полей может привести к появлению поляризации на частотах nw1+mw2, где n и m - целые числа. Записав i-компоненту поляризации на частоте w3=w1+w2 в виде
Piw3=w1+w2(t) = Re(Piw3 exp iw3t),
определим тензор нелинейной восприимчивости (раньше мы использовали cijk - тензор линейной восприимчивости) dijkw3=w1+w2 с помощью следующего соотношения для комплексных амплитуд
Тензор нелин. восприимчивости (2)
Подобным же образом вводим тензор восприимчивости на разностной частоте dijkw3=w1-w2
Тензор нелин. восприимчивости (3)
где согласно (1) Ek-w2=(Ekw2)*

Рассмотрение взаимодействия электромагнитных полей начнем с записи уравнения Максвелла, выделив в явном виде поляризацию P:
Уравнения Максвелла (4)
Представив поляризацию в виде суммы линейного и нелинейного членов, перепишем первое уравнение.
Уравнение 5 (5)
Примечание:
rot rot E = grad div E - С2E
Возьмем ротор от обеих частей второго уравнения (4) и подставим rot H из (5) (см. тж. примечание), учитывая, что div E=0:
Уравнение 6 (6)

Дальнейший анализ проведем для одномерного случая (Δ/Δx=Δ/Δy=0). За направление распространения берем ось Z. Ограничимся рассмотрением взаимодействия колебаний трех частот и соответствующие поля возьмем в виде бегущих плоских волн:
Eiw1(z,t) = 1/2[E1i(z) exp i(w1t-k1z) + к.с.],
Ekw2(z,t) = 1/2[E2k(z) exp i(w2t-k2z) + к.с.],
Ejw3(z,t) = 1/2[E3j(z) exp i(w3t-k3z) + к.с.],
(7)
где ijk - декартовы координаты. Заметим, что при Pнел=0 решение уравнения (6) дается выражениями (7) с амплитудами, не зависящими от z. В качестве примера запишем i-компоненту нелинейной поляризации на частоте w1=w3-w2. Согласно (3) и (7) она имеет вид
i-я компонента поляризации (7a)
Вернемся к уравнению (6). В одномерном случае
Уравнение 8 (8)
Дифференцируем и полагаем, что изменение комплексных амплитуд полей достаточно медленное, т.е.
Уравнение 9 (9)
Аналогичные выражения можно вывести для С2Ejw3(z,t) и С2Ekw2(z,t). Подставляя (9) в (6) и используя соотношение Δ/Δt=iw1 получим волновое уравнение для Eiw1(z,t):
Уравнение 10 (10)

Предполагаем, что при взаимодействии конечного числа полей уравнение (6) должно удовлетворяться по отдельности для компонент с различными частотами. Поставив (7а) и заметив, что w12m0e=k12, получим
Уравнение 11 (11)
или (считая s функцией частоты)
Уравнение 11a (11a)
и аналогично
Уравнение 11b (11b)

Уравнение 11c (11c)

Эти уравнения мы применим в дальнейшем при рассмотрении ряда конкретных случаев.

Генерация второй гармоники (ГВГ)

Первый эксперимент по генерации второй гармоники света был выполнен Франкеном в 1961 году. Луч рубинового лазера с l = 694,3 нм фокусировался на поверхность пластины из кристаллического кварца. Выходящее излучение анализировалось спектрометром. Было найдено, что в нем содержится компонента с удвоенной частотой (т.е. с l = 347,15 нм). Эффективность преобразования в первых экспериментах была порядка 10-8. Использование более эффективных материалов, увеличение мощности лазера, обеспечение условий фазового синхронизма позволили в последние годы довести коэффициент преобразования почти до единицы.
Схема для наблюдения ГВГ (JPEG:11k)
Рис.1. Схема первых экспериментов по ГВГ.
1 - рубиновый лазер, 2 - фокусирующая линза, 3 - кварцевая пластинка,
4 - коллиматорные линзы, 5 - призма, 6 - фотопластинка (экран).
Цвета показаны условно.

Применим уравнения (11a-11c) для рассмотрения ГВГ. Это частный случай взаимодействия полей трех частот, когда две частоты w1 и w2 одинаковы, а w3 = 2 w1. Следовательно, необходимо анализировать только два уравнения: первое (или второе) и последнее. В целях упрощения будем считать, что потери мощности входного луча (w1) за счет преобразования во вторую гармонику малы, т.е. dE1i/dz 0. Следовательно, можно рассматривать только последнее уравнение (11c). Если среда прозрачна на частоте w3, то s3=0 и
Уравнение 12 (12)
где w = w1 = 1/2 w3Dk = k3(j) - k1(i) - k1(k),  а k1(i) - волновое число волны с частотой w1, поляризованной по оси i. Если E3j(0) = 0, т.е вторая гармоника на входе отсутствует, и кристалл имеет длину l, решением (12) будет
Уравнение 13 (13)
или
Уравнение 14 (14)
где e≡e3. Чтобы получить выражение для мощности второй гармоники P2w на выходе, воспользуемся соотношением
Уравнение 15 (15)
где S - площадь поперечного сечения пучка. Приняв e1≈e3≈e0n2 приходим к коэффициенту преобразования
Коэффициент преобразования (16)

Фазовый синхронизм при генерации второй гармоники

Из (16) следует, что предпосылкой для эффективной ГВГ является выполнение условия Dk = 0, или, поскольку w3 = 2 w, а w1 = w2 = w,
Dk = k2w - 2 kw = 0   k2w = 2 kw (17)
Если Dk 0, то волна удвоенной частоты, генерируемая в некоторой плоскости (z1), дойдя до другой плоскости (z2), окажется не в фазе с волной удвоенной частоты, генерируемой в этой плоскости. Результат интерференции таких волн представлен в (16) множителем (1/2 Dk l)-2 sin2(1/2 Dk l). Два соседних максимума этой интерференции удалены на расстояние, называемое "когерентной длиной":
Когерентная длина (18)
Она является в сущности максимальной длиной кристалла, которую можно использовать для ГВГ. Показатель преломления, как правило, растет с увеличением частоты, так что
Dk = k2w - 2 kw = (2 w /c)(n2w - nw) (19)
Здесь использовано k=wn/c. Когерентная длина выражается формулой
Когерентная длина (20)
в которой l - длина волны падающего света.

Пример

Если l = 1 мкм и n2w - nw = 0,01 , то lc = 100 мкм.

Увеличение lc от 100мкм до 2см согласно (16) влечет за собой возрастание мощности второй гармоники в 4·104 раз.

Способ, который широко применяется для обеспечения условий фазового синхронизма, заключается в использовании анизотропных кристаллов, обладающих естественным двулучепреломлением. Используя связь kw = w √me0 nw, вместо условия (17) получим условие n2w = nw, т.е. коэффициенты преломления на основной частоте и на удвоенной должны совпадать. В материалах с нормальной дисперсией показатель преломления обыкновенной и необыкновенной волн, распространяющихся в данном направлении, растет с частотой. Т.е. удовлетворить условию равенства коэффициентов преломления невозможно, если волны частот w и 2w принадлежат одному типу (обыкновенные или необыкновенные). Однако фазовый синхронизм может осуществляться благодаря использованию волн разных типов.

В качестве примера рассмотрим зависимость показателя преломления необыкновенной волны в одноосном кристалле от угла q между направлением распространения и оптической осью (осью Z) кристалла. Эта зависимость имеет вид
Зависимость n от угла (21)
Если ne2w < now, то существует угол qсинх, при котором ne2w(qсинх) = now. Таким образом, если волна частоты w распространяется под углом qсинх к оси и имеет поляризацию, отвечающую обыкновенному лучу, то волна удвоенной частоты, возбуждаясь в том же направлении, будут обладать поляризацией необыкновенного луча. (См. рис.2).
Поверхности показателей преломления (JPEG:20k)
Рис.2. Поверхности показателей преломления для обыкновенного и необыкновенного лучей в отрицательном одноосном кристалле.

Угол q определяется пересечением сферы, представляющей собой поверхность показателей преломления для обыкновенного луча частоты w (желтая сфера) с эллипсоидом показателей преломления необыкновенного луча частоты 2w (розовый эллипсоид). В случае отрицательного одноосного кристалла (new < now), угол, удовлетворяющий условию ne2w(qсинх) = now, определяется так
Уравнение 22 (22)
откуда
Уравнение 23 (23)

Пример

Генерация второй гармоники в кристалле KDP. Исходное излучение - рубиновый лазер (l = 694,3 нм). Значения показателей преломления: new = 1,466, ne2w = 1,487, now = 1,506, no2w = 1,534. Угол синхронизма, вычисленный по формуле (23), равен qсинх = 50,4°.


Web-дизайн: Соловьев А.
Последние изменения 01.06.2000.
[3-я часть]   [1-я часть]   [Содержание]   [Методические пособия]