Рис.19. Пояснение к рассуждениям.

В газах при низких давлениях уширение, обусловленное тепловым движением излучающих и поглощающих молекул. Рассмотрим молекулу, имеющую в системе отсчета наблюдателя скорость v = (v_x ,v_y ,v_z ) . Центральная частота молекулярной линии излучения, равная w₀ в системе отсчета молекулы, для наблюдателя вследствие эффекта Допплера окажется сдвинутой: w_исп = w₀ - k v . Молекула движется в сторону наблюдателя - частота увеличивается и наоборот. То же самое и по отношению к плоской электромагнитной волне, поглощаемой молекулой: w_погл = w₀ + k v .

Пусть свет распространяется вдоль z , k=k(0,0,z) , k = 2p/l , тогда

wпогл = w0 + vz /c.

(1)

В тепловом равновесии молекулы имеют максвелловское распределение скоростей. При температуре T число молекул в единице объема n_i(v_z)dv_z , находящихся на уровне E_i и имеющих z-компоненту скорости в интервале v_z до v_z+dv_z , равно

ni(vz)dvz = (Ni / √pv0) exp[-(vz/v0)2] dvz

(2)

где N_i = тn_i(v_z)dv_z - плотность молекул на уровне E_i, v₀ = √2kT/m - наиболее вероятная скорость. Подставляя (1) в (2) и проводя замену переменных, получим число молекул, частоты поглощения которых сдвинуты относительно w₀ в интервал от w до w+dw

ni(w) dw = (cNi / √pv0w0) exp[-(c(w-w0)/v0w0)2] dw

(3)

Так как излучаемая или поглощаемая мощность P(w)dw пропорциональна плотности n_i(w)dw, то профиль интенсивности допплеровски уширенной линии имеет вид

I(w) = I0(w0) exp[-(c(w-w0)/v0w0)2]

(4)

Это - гауссов профиль с шириной dw_D = |w₁-w₂|, которая с учетом I(w₁) = I(w₂) = I₀/2 равна dw_D = 2 √ln2 w₀ v₀ / c или, подставив v₀,

dwD = w0 (8kT ln2 / mc2)1/2	(4a)
I(w) = I0(w0) exp[-(w-w0)2/0.36dwD2]	(5)

Максимальную ширину можно ожидать для водорода на больших частотах при высоких температурах.

dwD = (2 w0 / c) (2RT ln2 / M)1/2

(6)

где R=N_Ak - универсальная газовая постоянная.

dnD = 7.16•10-7 n0 √T/M   Гц

(7)

Рис.20. Контур Гаусса и контур Лоренца.

Из крыльев (cм. рис.20) получают информацию о лоренцевой ширине. При более подробном рассмотрении, профиль допплеровски уширенной линии нельзя считать чисто гауссовым. Молекулы на данной скорости v_z поглощают или излучают свет не только на одной частоте w╒ = w₀ + v_z/c. Вследствие конечности времен жизни молекулярных уровней энергии, частотная зависимость отклика этих молекул задается лоренцевым профилем (см. предыдущую часть) с центральной частотой w╒.

Пусть n_i(w╒)dw╒ - число молекул в единице объема, имеющих z-компоненту скорости в интервале v_z до v_z+dv_z . I(w) = I₀ тn(w╒)g(w-w╒)dw╒ . Подставив (4), получим

(8)

где

Этот профиль интенсивности, который является сверткой лоренцева и гауссова профилей, называется профилем Фойгта. Такие профили играют важную роль в спектроскопии звезд, где точные измерения крыльев линий позволяют оценить вклады допплеровского и естественного либо столкновительного уширений. Из таких измерений можно определить температуру и давление излучающих или поглощающих слоев звездных атмосфер.

Если вероятность P_ik(w) поглощения или испускания излучения на частоте w, приводящего к переходу i-k, для всех молекул, находящихся на уровне E_i, одинакова, то профиль спектральной линии этого перехода называют однородно уширенным (естественное, столкновительное уширение).

P_ik = A_ik g(w-w₀)

Стандартный пример неоднородного уширения - допплеровское. Вероятность поглощения (испускания) монохроматического излучения зависит от скорости молекул.

В присутствии поля излучения стационарное значение разности населенностей уменьшается: DN = DN₀ / [1+S] . Поглощенная единицей объема мощность равна

(9)

где R - средняя скорость релаксации.

Для однородно уширенной линии можно ввести зависящий от частоты параметр насыщения S_w = B₁₂^w r R^-1 g(w-w₀) . R в пределах контура линии от частоты не зависит.

Sw = Sw(w0) (g/2)2 [(w-w0)2 + (g/2)2]-1

(10)

Подставив (10) в (9) получим

(11)

Это лоренцев профиль линии с увеличенной вследствие насыщения шириной ( g_нас = g [1+S₀]^1/2 , dw_нас = dw [1+S₀]^1/2 ). При S₀=1 ширина линии возрастает в 1.4 раза по сравнению с ненасыщенной шириной в слабых полях (r→0).

Поглощенная мощность на 1 м пути равна уменьшению интенсивности dI / dz = -a_насI , следовательно

(12)

Рис.21. Коэффициент поглощения.

Сравнивая это выражение с профилем ненасыщенного поглощения , можно увидеть, что насыщение уменьшает коэффициент поглощения в a/a_нас = 1 + S_w раз. В центре линии эта величина имеет наибольшее значение 1 + S_w, а с увеличением расстройки уменьшается.

Если на молекулярный газ с тепловым распределением по скоростям падает монохроматическая волна с частотой w и волновым вектором k, то взаимодействовать с полем могут лишь те молекулы, которые за счет допплеровского сдвига оказываются в резонансе с полем. Если линия однородна, то скорости поглощающих молекул должны попадать в интервал w - k(v ± Dv) = w₁₂ ± dw . Пусть волновой вектор параллелен оси Z, тогда

w - k(vz ± Dvz ) = w12 ± dw

(13)

Рис.22. Провал Беннета

Распределение молекул на уровне E₁ по скоростям n₁(v_z ) dv_z является максвелловским, а полная населенность равна N = т n₁(v_z ) dv_z . Вследствие эффекта насыщения населенность n₁(v_z ) dv_z поглощающей группы молекул уменьшается, в то время как увеличивается плотность имеющих те же скорости молекул на верхнем уровне. Это приводит к образованию в распределении концентрации на уровне 1 по скоростям провала (провал Беннета).

Сечение поглощения:

(14)

Dn(v) = n1(v) - n2(v) = Dn0 / (1 + Sw)

(15)

(15a)

что преобразуется к виду

(15b)

Коэффициент поглощения будет a(w,v) = a(w,v_z ) = s(w,v_z ) Dn(v_z ) . Полный коэффициент поглощения всеми молекулами N₁-N₂: , тогда

(16)

В случае g_нас << Dw_D вычисление интеграла фойгтовского типа даст

aнас(w) = a0(w) (1 + S0)-1/2,

(17)

где a₀(w) = a₀(w₀) exp{-[(w-w₀)/0.36dw_D]²} .

Рис.23.

Насыщенный профиль допплеровски уширенной линии имеет вид a_нас(w) = a₀(w₀) (1 + S₀)^-1/2 exp{-[(w-w₀)/0.36dw_D]²} .

При перестройке частоты монохроматического лазерного излучения в пределах неоднородно уширенного профиля линии эффект насыщения проявляется таким же образом, как и в случае однородного уширения, т.е. сам контур просто "подсаживается" на некоторую величину. Обнаружить провал Беннета, выжигаемый такой волной, можно используя вторую зондирующую (слабую по интенсивности рисующую) волну, которая пропишет контур поглощения.

Ширина провала Беннета определяется насыщенной однородной шириной линии g_нас = g (1 + S₀)^-1/2 , а его глубина 4S₀/g - интенсивностью насыщающего поля и коэффициентом Эйнштейна B₁₂.

Пусть поглощающие молекулы помещены в стоячую монохроматическую волну с частотой w, поле которой можно представить в виде двух бегущих волн, распространяющихся в противоположных направлениях.

A cos(wt - kz) + A cos(wt + kz) = 2 A cos(kz) cos(wt)

Вследствие эффекта насыщения обе волны выжигают провалы Беннета на обоих крыльях контура поглощения. Если частоту лазера перестраивать по контуру поглощения, то при w=w₁₂ оба провала совпадут. В этом случае интенсивность насыщающей волны вдвое больше, провал Беннета глубже. Этот случай в литературе был впервые теоретически описан В.Лэмбом, за что и получил название лэмбовского провала.

Рис.24. Лэмбовский провал.